Question

已知f(x)＝(x≠a)．

(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；

(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．

Answer 1

解：(1)证明：任设x₁<x₂<－2，

则f(x₁)－f(x₂)＝－＝.

∵(x₁＋2)(x₂＋2)>0，x₁－x₂<0，

∴f(x₁)－f(x₂)<0，即f(x₁)<f(x₂)，.

∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增．

(2)任设1<x₁<x₂，则

f(x₁)－f(x₂)＝－＝.

∵a>0，x₂－x₁>0，

∴要使f(x₁)－f(x₂)>0，只需(x₁－a)(x₂－a)>0恒成立，∴a≤1.综上所述，a的取值范围是(0,1]．