Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的前n项和为T_n，且bn=q

an+1

2

（其中q是非零的实数），若T₅，T₁₅，T₁₀成等差数列，问2T₅，T₁₀，T₂₀-T₁₀能成等比数列吗？说明理由；
（3）设数列{c_n}的通项公式c_n=

n

an+2

，是否存在正整数m、n（1＜m＜n），使得c₁，c_m，c_n成等比数列？若存在，求出所有m、n的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合,等差关系的确定,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，由等差数列的通项公式、前n项和公式列出方程求出 a₁、d，代入a_n化简；
（2）由（1）和题意求出b_n，并对q进行分类讨论，根据等差中项的性质、整体思想求出q5=-

1

2

，代入等比数列的前n项和公式化简出T102、2T₅（T₂₀-T₁₀），再由等比中项的性质判断即可；
（3）由（1）和题意求出c_n，根据等比中项的性质列出方程，化简后转化为不等式，再求出m和n值．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
由a_2n=2a_n+1得，a₂=2a₁+1，即d=a₁+1 ①，
因为S₄=4S₂，所以4a₁+6d=4（2a₁+d）   ②，
联立①②得，a₁=1，d=2，
所以a_n=1+（n-1）×2=2n-1；
（2）由（1）得，bn=q

an+1

2

=qⁿ，
当q=1时，2T₁₅=30，T₅+T₁₀=15，成等差数列，不符合题意；
当q≠1时，因为T₅，T₁₅，T₁₀成等差数列，
所以2•

q(1-q15)

1-q

=

q(1-q5)

1-q

+

q(1-q10)

1-q

，
化简得2q¹⁰-q⁵-1=0，解得q5=-

1

2

，
因为T102=[

q(1-q10)

1-q

]2=

9

16

(

q

1-q

)2，
2T₅（T₂₀-T₁₀）=2•

q(1-q5)

1-q

[

q(1-q20)

1-q

-

q(1-q10)

1-q

]=

9

16

(

q

1-q

)2，
所以2T₅，T₁₀，T₂₀-T₁₀能成等比数列；
（3）由（1）得，cn=

n

an+2

=

n

2n+1

，
假设存在正整数m、n（1＜m＜n），使得c₁，c_m，c_n成等比数列，
则cm2=c1cn，即

1

3

•

n

2n+1

=(

m

2m+1

)2，
则

1

3

•

1

2+ 1 n

=(

m

2m+1

)2，所以(

m

2m+1

)2＜

1

6

，
解不等式(

m

2m+1

)2＜

1

6

，得

2- 6

2

＜m＜

2+ 6

2

，
所以，所有m、n的值分别为2，12．

点评：本题考查了等差数列、等比数列的综合问题，涉及的数学方法与思想：分类讨论思想、整体思想、转化思想，以及存在性问题，综合性强，难度大．