Question

11．已知函数f（x）=|x-a|（a∈R）．
（1）当a=2时，解不等式|x-$\frac{1}{3}$|+$\frac{1}{3}$f（x）≥1；
（2）若不等式|x-$\frac{1}{3}$|+$\frac{1}{3}$f（x）≤x的解集包含[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围，去掉绝对值，解各个区间上的x的范围，取并集即可；
（2）问题转化为x-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$|x-a|≤x，求出x的范围，得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）a=2时，f（x）=|x-2|，
问题转化为解不等式|x-$\frac{1}{3}$|+$\frac{1}{3}$|x-2|≥1，
①x≥2时，
x-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$（x-2）≥1，
x-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$x-$\frac{2}{3}$≥1，
解得：x≥$\frac{3}{2}$；
②$\frac{1}{3}$＜x＜2时，
x-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$（2-x）≥1，
解得：x≥1，故1≤x＜2；
③x≤$\frac{1}{3}$时，
$\frac{1}{3}$-x+$\frac{1}{3}$（2-x）≥1，
解得：x≤0，
综上，不等式的解集是：{x|x≤0或x≥1}；
（2）|x-$\frac{1}{3}$|+$\frac{1}{3}$|x-a|≤x的解集包含[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]，
∴x-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$|x-a|≤x，
故-1≤|x-a|≤1，
解得：-1+a≤x≤1+a，
故$\left\{\begin{array}{l}{-1+a≤\frac{1}{3}}\\{1+a≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得：-$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．