Question

8．已知数列{b_n}满足$\frac{b_1}{2}+\frac{b_2}{2^2}+\frac{b_n}{2^3}+…+\frac{b_n}{2^n}=n（{n∈{N^*}}）$，${b_n}={2^{{a_n}-1}}$，则数列$\left\{{\frac{a_n}{b_n}}\right\}$的前7项和S₇=$\frac{187}{64}$．

Answer 1

分析 先求出数列{b_n}的通项公式，再根据错位相减法求和即可．

解答 解：当n=1时，$\frac{{b}_{1}}{2}$=1，即b₁=2，
∵$\frac{b_1}{2}+\frac{b_2}{2^2}+\frac{b_n}{2^3}+…+\frac{b_n}{2^n}=n（{n∈{N^*}}）$，①，
当n≥2时，
$\frac{{b}_{1}}{2}$+$\frac{{b}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{b}_{n}-1}{{2}^{n-1}}$=n-1，②，
由①-②可得$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}}$=1，
∴b_n=2ⁿ，
当n=1时，成立，
∴b_n=2ⁿ，
${b_n}={2^{{a_n}-1}}$=2ⁿ．
∴a_n-1=n
∴a_n=n+1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{n+1}{{2}^{n}}$，
设数列$\left\{{\frac{a_n}{b_n}}\right\}$的前n项和S_n，
∴S_n=2×（$\frac{1}{2}$）¹+3×（$\frac{1}{2}$）²+…+n×（$\frac{1}{2}$）^n-1+（n+1）×（$\frac{1}{2}$）ⁿ，①
$\frac{1}{2}$S_n=2×（$\frac{1}{2}$）²+3×（$\frac{1}{2}$）³+…+n×（$\frac{1}{2}$）ⁿ+（n+1）×（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，②
由①-②可得
$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ-（n+1）×（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{1}{2}$+$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（n+1）×（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹=$\frac{1}{2}$+1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ-（n+1）×（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{3}{2}$-$\frac{n+3}{2}$×（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴S_n=3-$\frac{n+3}{{2}^{n}}$，
∴S₇=3-$\frac{10}{{2}^{7}}$=$\frac{187}{64}$，
故答案为：$\frac{187}{64}$

点评 本题考查了数列的递推公式和数列的通项公式的求法和错位相减法求和，属于中档题