Question

17．已知函数f（x）=cosx+xsinx-m，x∈[-π，π]，若f（x）有4个零点，则m的取值范围为（　　）

• A． （-1，1）
• B． （1，$\frac{π}{2}$）
• C． （0，$\frac{π}{2}$）
• D． （-1，$\frac{π}{2}$）

Answer 1

分析 令g（x）=cosx+xsinx，利用导数判断g（x）在[-π，π]上的单调性和极值，区间端点值，根据零点个数判断m的范围．

解答 解：令f（x）=0得cosx+xsinx=m，
令g（x）=cosx+xsinx，则g′（x）=-sinx+sinx+xcosx=xcosx．
令g′（x）=0得x=0或cosx=0，
∴x=0或x=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z．
∴g（x）在[-π，π]上随x的变化如下表所示：

x	[-π，-$\frac{π}{2}$）	-$\frac{π}{2}$	（-$\frac{π}{2}$，0）	0	（0，$\frac{π}{2}$）	$\frac{π}{2}$	（$\frac{π}{2}$，π]
g′（x）	+	0	-	0	+	0	-
g（x）	增函数	极大值	减函数	极小值	增函数	极大值	减函数

∵g（-π）=f（π）=-1，g（-$\frac{π}{2}$）=f（$\frac{π}{2}$）=$\frac{π}{2}$，f（0）=1，
∵f（x）有4个零点，
∴1＜m＜$\frac{π}{2}$．
故选B．

点评 本题考查了导数与函数单调性的关系，零点个数与极值的关系，属于中档题．