Question

9．已知函数f（x）=sinωx（ω＞0）在[0，$\frac{π}{6}$]上的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，当把f（x）的图象上所有的点向右平移φ个单位，得到函数g（x），且g（x）满足g（$\frac{7}{12}$π+x）=g（$\frac{7}{12}$π-x），则正数φ的最小值为（　　）

• A． $\frac{π}{12}$
• B． $\frac{π}{6}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 由函数的最大值求得ω的值，由正弦函数图象变换，求得g（x）的解析式，由函数的对称性求得g（x）的对称轴，可知2×$\frac{7}{12}$π-2φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得φ=-$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{3}$，k∈Z，当k=0时，即可求得正数φ的最小值．

解答 解：由题意，函数f（x）在区间[0，$\frac{π}{6}$]上单调递增，
∴sin（$\frac{π}{6}$ω）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{π}{6}$ω=$\frac{π}{3}$，
∴ω=2，
由f（x）的图象上所有的点向右平移φ个单位，
∴g（x）=sin（2x-2φ），
又g（$\frac{7}{12}$π+x）=g（$\frac{7}{12}$π-x），
所以x=$\frac{7}{12}$π是函数g（x）的一条对称轴，
故2×$\frac{7}{12}$π-2φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴φ=-$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
当k=0时，正数φ取最小值$\frac{π}{3}$．
故答案选：C．

点评 本题考查正弦函数的最值，函数图象变换，正弦函数的周期性质，考查学生对题目的理解和基础知识的掌握能力，属于中档题．