题目内容
7．
已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）和圆O：x2+y2=b2，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B．（Ⅰ）若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e的值；
（Ⅱ）设直线AB与x、y轴分别交于点M，N，问当点P在椭圆上运动时，$\frac{a^2}{{O{N^2}}}$+$\frac{b^2}{{O{M^2}}}$是否为定值？请证明你的结论．
分析 （Ⅰ）由圆O过椭圆的焦点，圆O：x2+y2=b2，可得b=c，再利用b2=a2-c2，及其离心率计算公式即可得出．
（Ⅱ）设P（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2）．利用切线的性质可得：$\frac{{y}_{0}-{y}_{1}}{{x}_{0}-{x}_{1}}$=-$\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}}$，整理进而得到PA方程为：x1x0+y1y0=b2．同理可得：PB方程为：x2x0+y2y0=b2．可得直线AB的方程为：x0x+y0y=b2．再利用${b}^{2}{x}_{0}^{2}$+${a}^{2}{y}_{0}^{2}$=a2b2．即可得出定值．
解答 解：（Ⅰ）∵圆O过椭圆的焦点，圆O：x2+y2=b2，∴b=c，
∴b2=a2-c2，a2=2c2，∴e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅱ）设P（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2）．
则$\frac{{y}_{0}-{y}_{1}}{{x}_{0}-{x}_{1}}$=-$\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}}$，整理得x0x1+y0y1=${x}_{1}^{2}$+${y}_{1}^{2}$．
∵${x}_{1}^{2}$+${y}_{1}^{2}$=b2．∴PA方程为：x1x0+y1y0=b2．
同理可得：PB方程为：x2x0+y2y0=b2．
从而直线AB的方程为：x0x+y0y=b2．
令x=0，得|ON|=|y|=$\frac{{b}^{2}}{|{y}_{0}|}$，令y=0，得|OM|=|x|=$\frac{{b}^{2}}{|{x}_{0}|}$．
又$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}$=1，即${b}^{2}{x}_{0}^{2}$+${a}^{2}{y}_{0}^{2}$=a2b2．
∴$\frac{a^2}{{O{N^2}}}$+$\frac{b^2}{{O{M^2}}}$=$\frac{{a}^{2}{y}_{0}^{2}+{b}^{2}{x}_{0}^{2}}{{b}^{4}}$=$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{4}}$=$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$，
∴$\frac{a^2}{{O{N^2}}}$+$\frac{b^2}{{O{M^2}}}$=$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$为定值．
点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、斜率计算公式、点与椭圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
| A． | （-1，1） | B． | （1，$\frac{π}{2}$） | C． | （0，$\frac{π}{2}$） | D． | （-1，$\frac{π}{2}$） |
| A． | $\sqrt{5}$ | B． | 2 | C． | $\sqrt{3}$ | D． | $\sqrt{2}$ |
| A． | $\frac{1}{2}$ | B． | -$\frac{1}{2}$ | C． | -$\frac{1}{4}$ | D． | $\frac{1}{4}$ |
| A． | c＜a＜b | B． | c＜b＜a | C． | a＜b＜c | D． | a＜c＜b |