Question

6．设P为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）在第一象限的一个动点，过点P向两条渐近线作垂线，垂足分别为A、B，若A、B始终在第一或第二象限内，则该双曲线的离心率e的取值范围为（$\sqrt{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 求出双曲线的渐近线方程，由题意可得渐近线y=$\frac{b}{a}$的倾斜角大于45°，即有斜率大于1，即为$\frac{b}{a}$＞1，运用离心率公式和双曲线的离心率范围，即可得到所求范围．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
由题意，A，B始终在第一或第二象限内，
则有渐近线y=$\frac{b}{a}$的倾斜角大于45°，
由斜率大于1，即为$\frac{b}{a}$＞1，
双曲线离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+（\frac{b}{a}）^{2}}$＞$\sqrt{2}$，
又e＞1，即有e的范围为（$\sqrt{2}$，+∞）．
故答案为：（$\sqrt{2}$，+∞）．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的运用和离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．