Question

12．已知a＞0时，函数f（x）=ln2x-ax-b只有一个零点，则当$\frac{2}{a}$$+\frac{1}{{e}^{b}}$取得最小值时a的值是（　　）

• A． $\sqrt{e}$
• B． $\frac{2}{e}$
• C． $\frac{2\sqrt{e}}{e}$
• D． $\frac{\sqrt{e}}{e}$

Answer 1

分析 当f（x）只有一个零点时，y=ax+b（a＞0）与y=ln2x相切，利用导数的几何意义列方程得出a，b的关系，利用基本不等式即可求出答案．

解答 解：令f（x）=0得ln2x=ax+b，
∵f（x）只有一个零点，且a＞0，
∴y=ax+b与y=ln2x相切．设切点坐标为（x₀，y₀），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{x}_{0}}=a}\\{ln2{x}_{0}=a{x}_{0}+b}\end{array}\right.$，∴$\frac{2}{a}={e}^{b+1}$．
∴$\frac{2}{a}$$+\frac{1}{{e}^{b}}$=e^b+1+$\frac{1}{{e}^{b}}$=e^b+1+$\frac{e}{{e}^{b+1}}$≥2$\sqrt{e}$，当且仅当e^b+1=$\frac{e}{{e}^{b+1}}$即e^b+1=$\sqrt{e}$时取等号．
∴当$\frac{2}{a}$$+\frac{1}{{e}^{b}}$取得最小值时，a=$\frac{2}{{e}^{b+1}}$=$\frac{2}{\sqrt{e}}$=$\frac{2\sqrt{e}}{e}$．
故选：C．

点评 本题考查了导数的几何意义，基本不等式的应用，属于中档题．