Question

3．已知函数f（x）是定义域为（-∞，1）∪（1，+∞），f（2-x）=-f（x）且f（2）=0，当x＞1时，有f′（x）（x-1）＞f（x），则不等式x²f（x）＞0的解集是（0，1）∪（2，+∞）．

Answer 1

分析 首先根据商函数求导法则，把当x＞1时，有f′（x）（x-1）＞f（x）成立，$[\frac{f（x）}{x-1}]′$＞0恒成立，转化为$\frac{f（x）}{x-1}$在（1，+∞）内单调递增；再由f（2）=0，易得f（x）在（1，+∞）内的正负性；最后结合f（2-x）=-f（x），函数关于（1，0）对称，可得f（x）在（-∞，1）内的正负性．则x²f（x）＞0的解集即可求得．

解答 解：∵当x＞1时，有f′（x）（x-1）＞f（x）成立，
∴$[\frac{f（x）}{x-1}]′$＞0恒成立，
∴$\frac{f（x）}{x-1}$在（1，+∞）内单调递增．
∵f（2）=0，
∴在（1，2）内恒有f（x）＜0；在（2，+∞）内恒有f（x）＞0．
又∵f（2-x）=-f（x），
∴函数关于（1，0）对称，
∴在（-∞，0）内恒有f（x）＜0；在（0，1）内恒有f（x）＞0．
又不等式x²f（x）＞0的解集，即不等式f（x）＞0的解集．
∴x∈（0，1）∪（2，+∞）．
故答案为：（0，1）∪（2，+∞）．

点评 考查商的导数的求导，根据导数符号判断函数单调性的方法，以及函数在对称区间上的单调性特点，不等式的性质，增函数和减函数定义的运用．