Question

7．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cos（α+\frac{π}{4}）\\ y=sin2α+1\end{array}\right.$（a为参数）；若以直角坐标系中的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为；$ρ=\frac{m}{{2cos（θ+\frac{π}{6}）+2sinθ}}$，（m为常数）
（1）求曲线C₁和曲线C₂的直角坐标方程；
（2）若曲线C₁和曲线C₂有公共点，求m的范围．

Answer 1

分析 （1）曲线C₁的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cos（α+\frac{π}{4}）\\ y=sin2α+1\end{array}\right.$（α为参数），由x=$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosα-sinα），两边平方化简即可得出．曲线C₂的极坐标方程为；$ρ=\frac{m}{{2cos（θ+\frac{π}{6}）+2sinθ}}$，可得ρ$（2×\frac{\sqrt{3}}{2}cosθ-2×\frac{1}{2}×sinθ）$+2ρsinθ=m，利用互化公式可得直角坐标方程．
（2）把y=m-$\sqrt{3}$x代入抛物线方程可得：x²-2$\sqrt{3}$x+2m-3=0．由于曲线C₁和曲线C₂有公共点，可得△≥0，解得m范围即可得出．

解答 解：（1）曲线C₁的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cos（α+\frac{π}{4}）\\ y=sin2α+1\end{array}\right.$（α为参数），由x=$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosα-sinα），两边平方可得：x²=1-2sinαcosα=1-2（y-1），∴x²=3-2y．
曲线C₂的极坐标方程为；$ρ=\frac{m}{{2cos（θ+\frac{π}{6}）+2sinθ}}$，∴ρ$（2×\frac{\sqrt{3}}{2}cosθ-2×\frac{1}{2}×sinθ）$+2ρsinθ=m，化为直角坐标方程：$\sqrt{3}$x+y-m=0．
（2）把y=m-$\sqrt{3}$x代入x²=3-2y，可得：x²-2$\sqrt{3}$x+2m-3=0．
∵曲线C₁和曲线C₂有公共点，∴△=12-4（2m-3）≥0，解得：m≤3，
∴m的取值范围是（-∞，3]．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与抛物线的位置关系与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．