Question

四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为8的菱形，∠BAD=

π

3

，若PA=PD=5，平面PAD⊥平面ABCD，E、F分别为BC、PA的中点．
（1）求证：EF∥面PCD；
（2）求证：AD⊥PB；
（3）求三棱锥C-BDP的体积．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）取PD中点为G，连接GC、GF∵FG

∥ .

.

EC，∴四边形CEFG为平行四边形，利用线面平行的判定定理可得所求；
（2）取AD中点为H，连接PH，BH，△PAD中，PA=PD，H为AD中点⇒PH⊥AD，由等边三角形得到AD⊥BH，得到AD⊥面PBH，再由平面垂直的性质解答；
（3）求出三棱锥C-BDP的高PH，利用三棱锥的体积解答．

解答： 解：（1）取PD中点为G，连接GC、GF∵FG

∥ .

.

EC，∴四边形CEFG为平行四边形，
故

EF∥GC EF?面PCD GC⊆面PCD

⇒EF∥面PCD，
（2）取AD中点为H，连接PH，BH△PAD中，PA=PD，H为AD中点⇒PH⊥AD，
正△ABD中，H为AD中点⇒BH⊥AD，
故AD⊥面PBH⇒AD⊥PB．
（3）

PH⊥AD 面PAD⊥面ABCD 面PAD∩面ABCD=AD PH?面PAD

⇒PH⊥面ABCD，且PH=3，
所以VC-BDP=VP-BCD=

1

3

S△BCD•PH=

1

3

×(

1

2

×8×8×sin

π

3

)×3=16

3

．

点评：本题考查了线面平行和线面垂直的性质以及判定定理 的运用，考查三棱锥体积的求法，属于中档题．