Question

已知不等式|t+3|-|t-2|≤6m-m²对任意t∈R恒成立．
（Ⅰ）求m的取值范围；
（Ⅱ）记m最大值为λ，且3x+4y+5z=λ，求x²+y²+z²的最小值．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）由题意可得|t+3|-|t-2|的最大值小于或等于6m-m²．利用绝对值的意义可得|t+3|-|t-2|的最大值为5，可得5≤6m-m²，由此求得m的范围．
（Ⅱ）由题意可得

3

5

x+

4

5

y+z=1，再根据x²+y²+z²=

1

2

（x²+y²+z²）（

9

25

+

16

25

+1），利用柯西不等式，求得x²+y²+z²的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）由不等式|t+3|-|t-2|≤6m-m²对任意t∈R恒成立，可得|t+3|-|t-2|的最大值小于或等于6m-m²．
而|t+3|-|t-2|表示数轴上的x对应点到-3对应点的距离减去它到2对应点的距离，它的最大值为5，
∴5≤6m-m²，求得1≤m≤5，故m的范围是[1，5]．
（Ⅱ）记m最大值为λ，则λ=5，由3x+4y+5x=λ=5，可得

3

5

x+

4

5

y+z=1，
∴x²+y²+z²=

1

2

（x²+y²+z²）（

9

25

+

16

25

+1）≥(

3

5

x+

4

5

y+z)2=1，
∴x²+y²+z²的最小值为

1

2

．

点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，柯西不等式的应用，属于基础题．