Question

设f（x）（x∈R）为偶函数，且f（x-

3

2

）=f（x+

1

2

）恒成立，当x∈[2，3]时，f（x）=x，则当x∈[-2，0]时，f（x）=

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据条件求出函数的周期是2，利用函数的周期和奇偶性即可求出f（x）在[-2，0]上的表达式．

解答： 解：∵f（x-

3

2

）=f（x+

1

2

），
∴f（x）=f（x+2），
即函数f（x）的周期是2．
当x∈[0，1]时，x+2∈[2，3]，
∴f（x）=f（x+2）=x+2，x∈[0，1]，
∵函数f（x）是偶函数，
∴当x∈[-1，0]时，f（x）=f（-x）=-x+2，
当x∈[-2，-1]时，x+2∈[0，1]，
此时f（x）=f（x+2）=x+2+2=x+4，
∴当x∈[-2，0]时，f（x）=

-x+2，x∈[-1，0] x+4，x∈[-2，-1)

，
故答案为：f（x）=

-x+2，x∈[-1，0] x+4，x∈[-2，-1)

．

点评：本题主要考查函数表达式的求法，利用条件求出函数的周期，利用函数的周期性和奇偶性是解决本题的关键．