题目内容
10．
某市为了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米（精确到0.1米）以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分（如图），已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30，第6小组的频数是7．（Ⅰ）求这次铅球测试成绩合格的人数；
（Ⅱ）用此次测试结果估计全市毕业生的情况．若从今年的高中毕业生中随机抽取两名，记X表示两人中成绩不合格的人数，求X的分布列及数学期望；
（Ⅲ）经过多次测试后，甲成绩在8～10米之间，乙成绩在9.5～10.5米之间，现甲、乙各投掷一次，求甲比乙投掷远的概率．
分析 （I）利用频率分布直方图求出第6小组的频率，然后求解此次测试总人数．
（II）判断X=0，1，2，求出成绩不合格的概率，得到X～$B（2，\frac{7}{25}）$．求出概率，得到分布列，然后求解期望．
（III）设甲、乙各投掷一次的成绩分别为x、y米，则基本事件满足的区域为$\left\{\begin{array}{l}8≤x≤10\\ 9.5≤y≤10.5\end{array}\right.$，
事件A甲比乙投掷远的概率”满足的区域为x＞y，利用几何概型求解即可．
解答 （本小题满分12分）
解：（I）第6小组的频率为1-（0.04+0.10+0.14+0.28+0.30）=0.14，
∴此次测试总人数为：$\frac{7}{0.14}=50$（人）．
∴第4、5、6组成绩均合格，人数为（0.28+0.30+0.14）×50=36（人）．…（4分）
（II）X=0，1，2
此次测试中成绩不合格的概率为$\frac{14}{50}=\frac{7}{25}$，
∴X～$B（2，\frac{7}{25}）$．
$P（X=0）=（\frac{18}{25}）^{2}=\frac{324}{625}$，$P（X=1）={C}_{2}^{1}{（\frac{7}{25}）（\frac{18}{25}）}^{\;}=\frac{252}{625}$，
$P（X=2）={（\frac{7}{25}）}^{2}=\frac{49}{625}$．
所求分布列为
| X | 0 | 1 | 2 |
| P | $\frac{324}{625}$ | $\frac{252}{625}$ | $\frac{49}{625}$ |
E（X）=np=2×$\frac{7}{25}$=$\frac{14}{25}$；…（8分）
（III）设甲、乙各投掷一次的成绩分别为x、y米，则基本事件满足的区域为
$\left\{\begin{array}{l}8≤x≤10\\ 9.5≤y≤10.5\end{array}\right.$，
事件A甲比乙投掷远的概率”满足的区域为x＞y，如图所示．
∴由几何概型$P（A）=\frac{\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}}{1×2}=\frac{1}{16}$．
则甲比乙投掷远的概率是$\frac{1}{16}$． …（12分）
点评 本题考查频率分布直方图的应用，离散型随机变量的分布列以及期望的求法，几何概型的求法，考查计算能力．
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| A． | （-$\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}$） | B． | （$\frac{5}{2}$，-$\frac{3}{2}$） | C． | （7，-9） | D． | （9，-7） |