Question

设定义在R上的函数f（x）对任意x，y∈R都有：f（x+y）=f（x）+f（y），且f（1）=2，当x＜0时，f（x）＜0．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）判断f（x）的单调性；
（3）解不等式f（x²+1）-f（1-x）＜4．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数奇偶性的判断,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由条件，令x=y=0，则f（0）=2f（0），即可得到f（0）；由条件可令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）=0，由奇偶性的定义即可判断；
（2）设x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，由于x＜0时，f（x）＜0，则f（x₁-x₂）＜0，即有f（x₁）-f（x₂）＜0，再由（1）的结论和单调性的定义，即可判断．
（3）原不等式转化为f（x²+1）＜f（3-x），再根据函数的单调性，得到不等式，解得即可

解答： （1）解：对任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y），
令x=y=0，则f（0）=2f（0），
即有f（0）=0；
令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）=0，
即有f（-x）=-f（x），
则函数f（x）为奇函数；
（2）证明：设x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，
由于当x＜0时，恒有f（x）＜0，
则f（x₁-x₂）＜0，
∴f（x₁-x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₂）＞f（x₁），
故x∈R时，f（x）为单调递增函数．
（3）∵f（1）=2
∴f（2）=f（1）+f（1）=4，
∴f（x²+1）-f（1-x）＜f（2），
∴f（x²+1）＜f（1-x）+f（2）=f（3-x），
∵f（x）为单调递增函数，
∴x²+1＜3-x，
解得-2＜x＜1，
故不等式的解集为（-2，1）

点评：本题考查抽象函数及运用，考查函数的奇偶性、单调性的判断，以及不等式的解法，属于中档题．