Question

已知函数f（x）、g（x）的定义域都是R′∪R″，J（x）=f（x）•g（x）．
（1）如果f（x），g（x）都是奇函数，试推出函数J（x）的奇偶性，并予以证明；若f（x），g（x）都是偶函数，或一个是奇函数另一个是偶函数，则请分别写出关于函数J（x）的奇偶性的相应结论；
（2）若函数f（x）为奇函数，g（x）为非奇非偶函数，试用反证法证明函数J（x）为非奇非偶函数；若函数f（x）为偶函数，g（x）为非奇非偶函数，则请分别写出关于函数J（x）的奇偶性的相应结论；
（3）若f（x），g（x）都是非奇非偶函数，则函数J（x）的奇偶性能否确定？请写出相应的结论并证明；若不能，请分别举例说明各种可能的情况．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：利用函数奇偶性的定义即可判断出．

解答： 解：（1）J（x）是偶函数．证明如下：
J（-x）=f（-x）•g（-x）=-f（x）•[-g（x）]=f（x）•g（x）=J（x），
∴J（x）是偶函数．
若f（x），g（x）都是偶函数，则J（x）是偶函数．
若一个是奇函数另一个是偶函数，函数J（x）是奇函数．
（2）函数f（x）为奇函数，g（x）为非奇非偶函数，则函数J（x）为非奇非偶函数．
反证法证明：假设函数J（x）是奇函数，则f（-x）g（-x）=-f（x）g（-x）=-f（x）g（x），
∴g（-x）=g（x）为偶函数，与g（x）为非奇非偶函数矛盾，因此假设不成立．
若函数f（x）为偶函数，g（x）为非奇非偶函数，则函数J（x）是非奇非偶函数．
（3）若f（x），g（x）都是非奇非偶函数，则函数J（x）的奇偶性不能确定．
①取f（x）=e^x，g（x）=e^-x，则J（x）=1既是奇函数又是偶函数；
②取f（x）=x+1，g（x）=x-1，则J（x）=x²-1为偶函数．
③取f（x）=

x+1

x

，g（x）=

x2

x+1

，假设定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞），则J（x）是奇函数．
④取f（x）=e^2x，g（x）=e^-x，则J（x）=e^x是非奇非偶函数．

点评：本题考查了函数的奇偶性定义及其判定方法，考查了推理能力与举例能力，属于难题．