Question

19．如图，在四面 体ABCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2$\sqrt{2}$，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC 上，且AQ=3QC．
（1）求证：PQ⊥AD；
（2）若∠BDC=45°，求直线CD与平面ACB所成角的大小；
（3）若CD=1，则在线段BD上是否存在点E，使得平面CPE⊥平面CMB？若存在，求出点E的位置，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）过P做PH∥AD，交BD于H，过Q作QS∥AD，交DC于S，则PH平行且等于$\frac{1}{4}$AD，QC平行且等于$\frac{1}{4}$AD，证明PQ∥HS，利用AD⊥平面BCD，AD⊥HS，即可证明结论；
（2）证明∠ACD为直线CD与平面ACB所成角的大小，即可求解；
（3）利用反证法进行判断即可．

解答 （1）证明：过P做PH∥AD，交BD于H，过Q作QS∥AD，交DC于S，则PH平行且等于$\frac{1}{4}$AD，QC平行且等于$\frac{1}{4}$AD，∴PH平行且等于QS，
∴QSHP为平行四边形，
∴PQ∥HS，
∵AD⊥平面BCD，
∴AD⊥HS，
∴PQ⊥AD；
（2）解：在△ADC中，做DN⊥AC于N，则
∵DN⊥BC，BC∩AC=C，
∴DN⊥平面ACB．
∴∠ACD为直线CD与平面ACB所成角的大小．
∵AD=2，BD=2$\sqrt{2}$，∠BDC=45°，
∴AD=DC，
∴∠ACD=45°，
∴直线CD与平面ACB所成角的大小为45°；
（3）解：不存在．假设存在点E，使得平面CPE⊥平面CMB，交线为CP，过B作CP的垂线，垂足为F，可得F在CP的延长线上，F在下底面上射影N在CH的延长线上，可得BH=$\frac{\sqrt{357}}{18}$＞1，∠CDN为钝角，从而过C做BD垂线，E在DB的延长线上，而不能在线段上．

点评 本题考查线面垂直的性质，考查线面角，考查平面与平面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．