Question

19．下列函数中，最小值为2的是（　　）

• A． $y=x+\frac{1}{x}$
• B． $y=lgx+\frac{1}{lgx}（1＜x＜10）$
• C． $y=sinx+\frac{2}{sinx}（0＜x＜\frac{π}{2}）$
• D． y=3^x+3^-x

Answer 1

分析 利用基本不等式的性质依次判断即可得出答案．

解答 解：对于A：$y=x+\frac{1}{x}$，当x＞0时，$y=x+\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=2，当且仅当x=1时取等号．当x＜0时，$y=-（x+\frac{1}{x}）$，
∵$x+\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=2，∴y≤-2，当且仅当x=-1时取等号．故A不对．
对于B：$y=lgx+\frac{1}{lgx}$$≥2\sqrt{lgx•\frac{1}{lgx}}=2$，当且仅当lgx=1时取等号，此时x=10．而1＜x＜10，故B不对．
对于C：$y=\frac{2}{sinx}+sinx≥2\sqrt{\frac{2}{sinx}•sinx}$$≥2\sqrt{2}$，当且仅当sinx=1时取等号，此时x=$\frac{π}{2}$．而0＜x＜$\frac{π}{2}$，故C不对．
对于D：$y={3}^{x}+{3}^{-x}={3}^{x}+\frac{1}{{3}^{x}}≥2\sqrt{{3}^{x}•\frac{1}{{3}^{x}}}=2$，当且仅当3^x=1时取等号，此时x=0，故D正确．
故选：D．

点评 本题考查了基本不等式的性质的判断及运用．属于基础题．