Question

1．任取$k∈[-\sqrt{3}，\sqrt{3}]$，直线y=k（x+2）与圆x²+y²=4相交于A，B两点，则$\left|{\left.{AB}\right|}\right.≥2\sqrt{3}$的概率为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 由圆的方程找出圆心坐标和半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线y=k（x+2）的距离d，由r及d，根据垂径定理及勾股定理表示出弦AB的长，令AB的长大于等于2$\sqrt{3}$，列出关于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范围，根据已知k的范围，利用几何概型即可求出|AB|≥2$\sqrt{3}$的概率．

解答 解：由圆x²+y²=4，得到圆心为（0，0），半径等于2，
圆心到直线y=k（x+2）的距离d=$\frac{|2k|}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$，
由弦长公式得：|AB|=2$\sqrt{4-\frac{{4k}^{2}}{1{+k}^{2}}}$≥2$\sqrt{3}$，
解得：-$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤k≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
又-$\sqrt{3}$≤k≤$\sqrt{3}$，
则|AB|≥2$\sqrt{3}$的概率为$\frac{1}{3}$．
故选：C．

点评 此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，其他不等式的解法，以及几何概型，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，然后由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．