Question

9．已知n∈N^*，求证：$\frac{1}{2+1}$+$\frac{2}{{2}^{2}+2}$+$\frac{3}{{2}^{3}+3}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}+n}$＜$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 令a_n=$\frac{n}{{2}^{n}+n}$=$\frac{1}{\frac{{2}^{n}}{n}+1}$，求得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$＜$\frac{2}{3}$（n≥3），再由不等式的性质和等比数列的求和公式，即可得证．

解答 证明：令a_n=$\frac{n}{{2}^{n}+n}$=$\frac{1}{\frac{{2}^{n}}{n}+1}$，
$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{\frac{{2}^{n}}{n}+1}{\frac{{2}^{n+1}}{n+1}+1}$＜$\frac{\frac{{2}^{n}}{n}}{\frac{{2}^{n+1}}{n+1}}$=$\frac{n+1}{2n}$
=$\frac{1+\frac{1}{n}}{2}$＜$\frac{1+\frac{1}{3}}{2}$=$\frac{2}{3}$（n≥3），即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$＜$\frac{2}{3}$（n≥3），
则a₁+a₂+a₃+…+a_n＜a₁+a₂+a₃+a₃•$\frac{2}{3}$+…+a₃•（$\frac{2}{3}$）^n-3
=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{\frac{3}{11}（1-（\frac{2}{3}）^{n-2}）}{1-\frac{2}{3}}$=$\frac{2}{3}$+$\frac{9}{11}$（1-（$\frac{2}{3}$）^n-2）＜$\frac{2}{3}$+$\frac{9}{11}$=$\frac{98}{66}$＜$\frac{3}{2}$．
故不等式$\frac{1}{2+1}$+$\frac{2}{{2}^{2}+2}$+$\frac{3}{{2}^{3}+3}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}+n}$＜$\frac{3}{2}$成立．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用放缩法和等比数列的求和公式，以及不等式的性质，考查推理能力，属于中档题．