Question

17．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门通过“可持续指数”来进行积累考核．已知该生产线连续生产n年的产量f（n）=$\frac{n（n+1）（n+2）}{3}$吨，每年生产量a_n的倒数记作该年的“可持续指数”，如果累计“可持续指数”不小于80%，则生产必须停止，则该产品可持续生产3年．

Answer 1

分析 该生产线连续生产n年的产量f（n）=$\frac{n（n+1）（n+2）}{3}$吨，可得a₁=f（1），当n≥2时，a_n=f（n）-f（n-1）=n（n+1），$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，利用“裂项求和”可得$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$，即可得出．

解答 解：∵该生产线连续生产n年的产量f（n）=$\frac{n（n+1）（n+2）}{3}$吨，
∴a₁=f（1）=2，
当n≥2时，a_n=f（n）-f（n-1）=$\frac{n（n+1）（n+2）}{3}$-$\frac{（n-1）n（n+1）}{3}$=n（n+1），
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$．
令1-$\frac{1}{n+1}$≥80%，
解得n≥4，
因此该产品可持续生产3年．
故答案为：3．

点评 本题考查了“裂项求和”、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．