Question

在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，DC=2，∠PCD=45°，D，E，F，G分别为线段PA，PC，PD，BC的中点，现将△PDC折起，使平面PDC⊥平面ABCD（图2）．
（1）求证：AP∥平面EFG；
（2）求三棱椎C-EFG的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）证明EF∥平面PAB，同理EG∥平面PAB，从而得到平面PAB∥平面EFG，而PA在平面PAB内，故有PA∥平面EFG．
（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出三棱椎C-EFG的体积．

解答： （1）证明：∵PE=EC，PF=FD，
∴EF是△PDC的中位线，∴EF∥CD．
又CD∥AB，∴EF∥AB，
∴EF∥平面PAB，同理EG∥平面PAB．
又∵EF∩EG=E，
∴平面PAB∥平面EFG，而PA在平面PAB内，
∴PA∥平面EFG．
（2）解：∵BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，
平面PDC⊥平面ABCD，
∴AD，DC，DP两两垂直，
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，
建立空间直角坐标系，
∵DC=2，∠PCD=45°，
D，E，F，G分别为线段PA，PC，PD，BC的中点，
∴C（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），
F（0，0，1），G（1，2，0），

FE

=（0，1，0），

FG

=（1，2，-1），

EG

=（1，1，-1），

FC

=（0，2，-1），
设平面EFG的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • FE =y=0 n • FG =x+2y-z=0

，取x=1，得

n

=（1，0，1），
点C到平面EFG的距离h=

| n • FC |

| n |

=

|-1|

2

=

2

2

，
cos＜

FE

，

FG

＞=

2

6

，∴sin＜

FE

，

FG

＞=

3

3

．
S_△EFG=

1

2

|

FE

|•|

FG

|•sin＜

FE

，

FG

＞=

1

2

×1×

6

×

3

3

=

2

2

，
∴三棱椎C-EFG的体积V=

1

3

S△EFG•h=

1

3

×

2

2

×

2

2

=

1

6

．

点评：本题考查证明线面平行的方法，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用．