Question

过点P（-

3

，0），作直线l交椭圆11x²+y²=9于M、N两点，若以M、N为直径的圆恰好通过椭圆的中心，求直线l的倾斜角．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：当l⊥x轴时，把P（-

3

，0）代入椭圆方程：11×3+y²=9，无解，舍去．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x+

3

)，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
与椭圆的方程联立，化为（11+k²）x²+2

3

k2x+3k²-9=0，要求△＞0．以M、N为直径的圆恰好通过椭圆的中心，可得

OM

•

ON

=0，把根与系数的关系代入即可得出．

解答： 解：当l⊥x轴时，把P（-

3

，0）代入椭圆方程：11×3+y²=9，无解，舍去．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x+

3

)，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
联立

y=k(x+ 3 ) 11x2+y2=9

，化为（11+k²）x²+2

3

k2x+3k²-9=0，
∵△=12k⁴-4（11+k²）（3k²-9）＞0，解得k2＜

33

8

．
∴x₁+x₂=-

2 3 k2

11+k2

，x1x2=

3k2-9

11+k2

．
∵以M、N为直径的圆恰好通过椭圆的中心，
∴

OM

•

ON

=x₁x₂+y₁y₂=x1x2+k2(x1+

3

)(x2+

3

)=0，
化为（1+k²）x₁x₂+

3

k2(x1+x2)+3k2=0，
∴

(1+k2)(3k2-9)

11+k2

-

2 3 k2× 3 k2

11+k2

+3k²=0，
化为k2=

1

3

，满足△＞0．
解得k=±

3

3

．
设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π），
∴tanθ=±

3

3

，
∴θ=

π

6

或

5π

6

．

点评：本题考查了直线与椭圆相交问题转化为椭圆的方程联立可得根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系、圆的性质，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．