Question

如图，已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面 ABC，△ABC是正三角形，AC=2 PA=2，D、E分别为棱 AC和 BC的中点．
（1）证明：DE∥平面PAB；
（2）证明：平面 PBD⊥平面PAC；
（3）求三棱锥P-BDE的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由三角形中位线定理DE∥AB，由此能证明DE∥平面PAB．
（2）由线面垂直得PA⊥BD，由正三角形性质得BD⊥AC，由此能证明平面PBD⊥平面PAC．
（3）由已知得S△BDE=

1

2

•S△BCD=

1

2

×

1

2

×S△ABC，再由PA⊥平面ABC，能求出三棱锥P-BDE的体积．

解答： （1）证明：∵D、E分别为棱AC和BC的中点，
∴DE∥AB，
又∵AB?平面PAB，DE?平面PAB，
∴DE∥平面PAB．
（2）证明：∵PA⊥平面ABC，且BD?平面ABC，
∴PA⊥BD，
∵△ABC是正三角形，D是AC中点，
∴BD⊥AC，
∵PA∩AC=A，且PA，AC?平面PAC，
∴BD?平面PBD，
∴平面PBD⊥平面PAC．
（3）解：在正三角形ABC中，
∵D，E分别为棱AC和BC的中点，
∴S△BDE=

1

2

•S△BCD=

1

2

×

1

2

×S△ABC
=

1

4

×

1

2

×2×2×sin60°=

3

4

，
∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥平面BDE，
∴VF-BDE=

1

3

×S△BDE×PA=

1

3

×

3

4

×1=

3

12

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．