Question

3．在平行四边形ABCD中，A（1，1）、B（7，3）、D（4，6），点M是线段AB的中点线段CM与BD交于点P．
（1）求直线CM的方程；
（2）求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$，可得$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}$．利用中点坐标公式可得：点M坐标（4，2）．利用斜率计算公式与中点坐标公式即可得出．
（2）利用斜率计算公式可得k_BD=-1，利用点斜式可得BD直线方程，联立解出即可得出．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$，
∴$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}$=（7，3）+（4，6）-（1，1）=（10，8）．
∴C点坐标C（10，8）．
由中点坐标公式可得：点M坐标（$\frac{1+7}{2}$，$\frac{1+3}{2}$），即（4，2）．
k_CM=$\frac{8-2}{10-4}$=1，
得出直线CM方程y-2=x-4，可得：x-y-2=0．
（2）k_BD=$\frac{6-3}{4-7}$=-1，
∴BD直线方程y-6=-（x-4），x+y-10=0，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2=0}\\{x+y-10=0}\end{array}\right.$，
解得x=6，y=4，
所以点P坐标为（6，4）．

点评 本题考查了平行四边形的性质、向量的坐标运算性质、点斜式、直线的交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．