Question

18．在椭圆$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{27}$=1上有两个动点M，N，K（3，0）为定点，$\overrightarrow{KM}$•$\overrightarrow{KN}$=0，则$\overrightarrow{KM}$•$\overrightarrow{NM}$最小值为9．

Answer 1

分析 M在椭圆$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{27}$=1上，可设M（6cosα，3$\sqrt{3}$sinα）（0≤α＜2π），可得$\overrightarrow{KM}$•$\overrightarrow{NM}$=$\overrightarrow{KM}$•$（\overrightarrow{KM}-\overrightarrow{KN}）$=${\overrightarrow{KM}}^{2}$-$\overrightarrow{KM}•\overrightarrow{KN}$=（6cosα-3）²+（3$\sqrt{3}$sinα）²
=9（cosα-2）²，利用三角函数的单调性值域与二次函数的单调性即可得出．

解答 解：M在椭圆$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{27}$=1上，可设M（6cosα，3$\sqrt{3}$sinα）（0≤α＜2π），
则$\overrightarrow{KM}$•$\overrightarrow{NM}$=$\overrightarrow{KM}$•$（\overrightarrow{KM}-\overrightarrow{KN}）$=${\overrightarrow{KM}}^{2}$-$\overrightarrow{KM}•\overrightarrow{KN}$=${\overrightarrow{KM}}^{2}$=（6cosα-3）²+（3$\sqrt{3}$sinα）²
=36cos²α-36cosα+9+27sin²α=9cos²α-36cosα+36=9（cosα-2）²，
令cosα=t∈[-1，1]，则f（t）=9（t-2）²-9∈[9，18]．
∴当cosα=1，sinα=0时，即取M（6，0），$\overrightarrow{KM}$•$\overrightarrow{NM}$最小值为9．
故答案为：9．

点评 本题考查了椭圆的定义及其标准方程、向量数量积运算性质、三角函数的单调性值域与二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．