Question

定长为3的线段AB的两端点在抛物线y²=x上移动，记线段AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标．

Answer 1

【答案】分析：先用A、B点的坐标表示点M，则点M到y轴的距离即为其横坐标建立距离模型，再利用基本不等式法求得最值，由取得等号的条件求得M点的坐标．
解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB长度为3，
那么x₁=y₁²，x₂=y₂²，（1）
3²=（x₂-x₁）²+（y₂-y₁）²=（y₂²-y₁²）²+（y₂-y₁）²=（y₂-y₁）²[（y₂+y₁）²+1]（2）
线段AB的中点M（x，y）到y轴的距离为
由（2）得x≥，并且当（y₁-y₂）²=（y₁+y₂）²+1=3（3）
时x取得最小值x=
下证x能达到最小值，根据题意不妨设y₁＞y₂，由（3）得
由此解得y₁，y₂，由（1）解得x₁，x₂，所以x可取得最小值．
相应的M点纵坐标
∴M点坐标为
点评：本题主要考查建模和解模的能力．