Question

定长为3的线段AB的两端点在抛物线y²=x上移动，记线段AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标．

Answer 1

分析：先用A、B点的坐标表示点M，则点M到y轴的距离即为其横坐标建立距离模型，再利用基本不等式法求得最值，由取得等号的条件求得M点的坐标．

解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB长度为3，
那么x₁=y₁²，x₂=y₂²，（1）
3²=（x₂-x₁）²+（y₂-y₁）²=（y₂²-y₁²）²+（y₂-y₁）²=（y₂-y₁）²[（y₂+y₁）²+1]（2）
线段AB的中点M（x，y）到y轴的距离为x=

x1+x2

2

=

1

2

(

y

2 1

+

y

2 2

)=

1

4

[(y1-y2)2+((y1+y2)2+1)-1]≥

1

4

[2

(y1-y2)2((y1+y2)2+1)

-1]
由（2）得x≥

1

4

(2×3-1)=

5

4

，并且当（y₁-y₂）²=（y₁+y₂）²+1=3（3）
时x取得最小值x₀=

5

4

下证x能达到最小值，根据题意不妨设y₁＞y₂，由（3）得

y1-y2= 3 y1+y2=± 2

由此解得y₁，y₂，由（1）解得x₁，x₂，所以x可取得最小值

5

4

．
相应的M点纵坐标y0=

y1+y2

2

=±

2

2

∴M点坐标为(

5

4

，

2

2

)或(

5

4

，-

2

2

)

点评：本题主要考查建模和解模的能力．