Question

定长为3的线段AB两端点A、B分别在x轴，y轴上滑动，M在线段AB上，且．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）设过且不垂直于坐标轴的动直线l交轨迹C于A、B两点，问：线段OF上是否存在一点D，使得以DA，DB为邻边的平行四边形为菱形？作出判断并证明．

Answer 1

【答案】分析：（1）设A（x₁，0），B（0，y₁），M（x，y），则，由此能求出点M的轨迹C的方程．
（2）设满足条件的点D（0，m），设l的方程为：，代入椭圆方程，得，设，．由以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形，知，由此能导出存在满足条件的点D．
解答：解：（1）设A（x₁，0），B（0，y₁），M（x，y）
则，|AB|=3==1
（2）存在满足条件的D点．设满足条件的点D（0，m），
则，设l的方程为：y=kx+，（k≠0），代入椭圆方程，
得（k²+4）x²+2kx-1=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2．∵以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形，
∴，=，的方向向量为（1，k），=0，
∴--2mk=0即m=∵k²＞0，∴m=，∴0＜m＜，∴存在满足条件的点D．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．