Question

11．在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知a²-c²=2b，且sinAcosC=3cosAsinC．
（Ⅰ）求b；
（Ⅱ）若a=6，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用余弦定理求得$\frac{{b}^{2}}{2}$=2b，由此求得b的值．
（Ⅱ）根据a=6，b=4，a²-c²=2b，求得c=2$\sqrt{7}$，余弦定理求得cosC的值，可得C的值，再根据△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$ab•sinC，计算求得结果．

解答 解：（Ⅰ）△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，∵已知a²-c²=2b，且sinAcosC=3cosAsinC
∴a•$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$=3•c•$\frac{{b}^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$，∴2（a²-c²）=b²，∴$\frac{{b}^{2}}{2}$=2b，∴b=4．
（Ⅱ）∵a=6，b=4，a²-c²=2b，∴c=2$\sqrt{7}$，∴cosC=$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，∴C=$\frac{π}{3}$，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$ab•sinC=6$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，属于基础题．