题目内容

3．六棱锥P-ABCDEF中，底面是正六边形，顶点在底面的射影是底面正多边形中心，G为PB的中点，则三棱锥D-GAC与三棱锥P-GAC体积之比为（　　）
A．1：1B．1：2C．2：1D．3：2

分析 利用等积法将两棱锥转化为两个同高棱锥的比，通过计算底面积得出体积比．

解答 解：设棱锥的高为h，
∵VD-GAC=VG-ACD=$\frac{1}{2}$VP-ACD=$\frac{1}{6}$S△ACD•h，
VP-GAC=VG-ACP=$\frac{1}{2}$VB-APC=$\frac{1}{2}$VP-ABC=$\frac{1}{6}$S△ABC•h，
∴$\frac{{V}_{D-GAC}}{{V}_{P-GAC}}$=$\frac{{S}_{△ACD}}{{S}_{△ABC}}$．
设底面正六边形ABCDEF的边长为a，则S△ABC=$\frac{1}{2}{a}^{2}×sin120°$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a2，
S△ACD=$\frac{1}{2}$AC•CD=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$a×a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a2．
∴$\frac{{S}_{△ACD}}{{S}_{△ABC}}$=2，
即$\frac{{V}_{D-GAC}}{{V}_{P-GAC}}$=2．
故选：C．

点评 本题考查了棱锥的体积计算，属于中档题．

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