题目内容

6．小华同学制作了一个简易的网球发射器，可用于帮忙练习定点接发球，如图1所示，网球场前半区、后半区总长为23.77米，球网的中间部分高度为0.914米，发射器固定安装在后半区离球网底部8米处中轴线上，发射方向与球网底部所在直线垂直．为计算方便，球场长度和球网中间高度分别按24米和1米计算，发射器和网球大小均忽略不计．如图2所示，以发射器所在位置为坐标原点建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上的球场中轴线上，y轴垂直于地平面，单位长度为1米．已知若不考虑球网的影响，网球发射后的轨迹在方程=$\frac{1}{2}$kx-$\frac{1}{80}$（1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．发射器的射程是指网球落地点的横坐标．

（1）求发射器的最大射程；
（2）请计算k在什么范围内，发射器能将球发过网（即网球飞行到球网正上空时，网球离地距离大于1米）？若发射器将网球发过球网后，在网球着地前，小明要想在前半区中轴线的正上空选择一个离地面2.55米处的击球点正好击中网球，试问击球点的横坐标a最大为多少？并请说明理由．

分析 （1）由$\frac{1}{2}$kx-$\frac{1}{80}$（1+k2）x2=0得：x=$\frac{40k}{1+{k}^{2}}$或x=0，利用基本不等式求发射器的最大射程；
（2）求出$\frac{1}{2}＜k＜\frac{9}{2}$，依题意：$\frac{1}{2}$ka-$\frac{1}{80}$（1+k2）a2=2.55在（$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{2}$）上有实数解，即可得出结论．

解答 解：（1）由$\frac{1}{2}$kx-$\frac{1}{80}$（1+k2）x2=0得：x=$\frac{40k}{1+{k}^{2}}$或x=0，…（2分）
由x=$\frac{40}{k+\frac{1}{k}}$≤20，当且仅当k=1时取等号．
因此，最大射程为20米；    …（5分）
（2）网球发过球网，满足x=8时y＞1．
所以4k-$\frac{4}{5}$（1+k2）＞1，即4k2-20k+9＜0，因此$\frac{1}{2}＜k＜\frac{9}{2}$   …（8分）
依题意：关于k的方程$\frac{1}{2}$ka-$\frac{1}{80}$（1+k2）a2=2.55在（$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{2}$）上有实数解
即a2k2-40ak+a2+204=0（a≠0）…9分
△=1600a2-4a2（a2+204）≥0得a≤14，…（11分）
此时k=$\frac{10}{7}$，球过网了，所以击球点的横坐标 a最大为14  …（12分）

点评 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，正确转化是关键．

练习册系列答案
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