Question

7．已知数列{a_n}和{b_n}满足a_n=log₂b_n（n∈N^*），S_n为等差数列{a_n}的前n项和，且a₁=1，b₄=4b₂．
（1）求a_n与b_n；
（2）设c_n=$\frac{1}{{S}_{n}}+\frac{1}{{b}_{n}}$，记数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：$\frac{3}{2}$≤T_n＜3．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列的通项公式和前n项和公式，结合题意列出方程求出首项、公差，代入通项公式，再由对数的运算性质即可得到所求；
（2）求得c_n=$\frac{2}{n（n+1）}$+$\frac{1}{{2}^{n}}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）+$\frac{1}{{2}^{n}}$，由裂项相消求和和等比数列的求和公式，结合不等式的性质即可得证．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
a_n=log₂b_n（n∈N^*），可得b_n=2^a_n，
a₁=1，b₄=4b₂．可为a₁=1，2^a₄=4•2^a₂，
即有a₄=2+a₂，即2d=2，d=1，
则a_n=1+n-1=n，b_n=2ⁿ；
（2）证明：c_n=$\frac{2}{n（n+1）}$+$\frac{1}{{2}^{n}}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）+$\frac{1}{{2}^{n}}$，
由于c_n＞0，c₁=1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，则T_n≥c₁=$\frac{3}{2}$；
又T_n=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）+$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$
=2（1-$\frac{1}{n+1}$）+1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ=3-$\frac{2}{n+1}$-（$\frac{1}{2}$）ⁿ＜3，
综上可得，$\frac{3}{2}$≤T_n＜3．

点评 本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，同时考查不等式的性质，属于中档题．