Question

19．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=5cosφ}\\{y=3sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=4-2t}\\{y=3-t}\end{array}\right.$（t为参数）．
（I）求C与l的方程；
（Ⅱ）求过C的右焦点，且平行l的直线方程．

Answer 1

分析 （I）消去参数φ可得椭圆方程为$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$；
（II）同理可得直线l的方程为x-2y+2=0，斜率为$\frac{1}{2}$，由（I）可得椭圆C的右焦点为（4，0），可得点斜式方程，化为一般式即可．

解答 解：（I）∵椭圆C的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=5cosφ}\\{y=3sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），
∴cosφ=$\frac{x}{5}$，sinφ=$\frac{y}{3}$，∵cos²φ+sin²φ=1，
∴（$\frac{x}{5}$）²+（$\frac{y}{3}$）²=1，即$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$；
（II）同理消去参数t可得直线l的方程为：x-2y+2=0，l的斜率为$\frac{1}{2}$，
由（I）可得椭圆C的右焦点为（4，0），
∴所求直线方程为y=$\frac{1}{2}$（x-4），即x-2y-4=0．

点评 本题考查椭圆的参数方程，涉及直线的方程的求解，属基础题．