Question

16．已知sinθ，cosθ是关于x的方程x²+ax-a=0（a∈R）的两根．
（1）求sin³θ+cos³θ的值；
（2）求tanθ+$\frac{1}{tanθ}$的值．

Answer 1

分析 （1）依题意，由△≥0，可求得a的取值范围，利用韦达定理与三角函数间的关系可求得a=sinθ+cosθ=sinθcosθ=1-$\sqrt{2}$，从而可求sin³θ+cos³θ的值；
（2）利用诱导公式，将所求关系式中的“切”化“弦”，通分整理，将sinθ+cosθ=sinθcosθ代入可得答案．

解答 解：依题意，△=a²+4a≥0，解得a≥0或a≤-4，
又$\left\{\begin{array}{l}sinθ+cosθ=-a\\ sinθ•cosθ=-a\end{array}\right.$，
所以（sinθ+cosθ）²=1+2sinθcosθ，即a²+2a-1=0，解得a=$-1+\sqrt{2}$或a=-1-$\sqrt{2}$（舍去），
因此sinθ+cosθ=sinθcosθ=$\sqrt{2}-1$．
（1）sin³θ+cos³θ=（sinθ+cosθ）（1-sinθcosθ）
=（$\sqrt{2}-1$）[1-（$\sqrt{2}-1$）]=6-4$\sqrt{2}-1$．
（2）tanθ+$\frac{1}{tanθ}$=$\frac{sinθ}{cosθ}$+$\frac{cosθ}{sinθ}$=$\frac{1}{sinθcosθ}$=$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$=$\sqrt{2}+1$．

点评 本题考查同角三角函数基本关系的运用，考查韦达定理的应用，求得sinθ+cosθ=sinθcosθ的值是关键，属于中档题．