Question

12．经过椭圆C：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}$=1的左焦点F₁作直线l，与椭圆C交于A，B两点，且|AB|=$\frac{24}{7}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 求出椭圆的左焦点，通过直线的斜率是否存在，利用弦长公式求解直线的斜率，然后求解直线方程．

解答 （12分）解：椭圆C：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}$=1的左焦点F₁（-1，0），
当直线斜率不存在时，|AB|=3不符合题意；
当直线斜率存在时，设直线y=k（x+1），与椭圆方程联立$\left\{\begin{array}{l}y=k（x+1）\\ \frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1\end{array}\right.$，
消去y化简可得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，
=$-\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∵|AB|=$\frac{24}{7}$，
∴由弦长公式得$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₂-x₁|=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（-\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}）^{2}-4×\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}}$=$\frac{24}{7}$，
解得k=±1，
直线方程为y=-x-1或y=x+1．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，弦长公式的应用，考查分析问题解决问题的能力．