Question

定义函数y=f（x），x∈D（D为定义域）图象上的点到坐标原点的距离为函数的y=f（x），x∈D的模．若模存在最大值，则此最大值称之为函数y=f（x），x∈D的长距；若模存在最小值，则此最小值称之为函数y=f（x），x∈D的短距．
（1）分别判断函数f₁（x）=

1

x

与f₂（x）=

-x2-4x+5

是否存在长距与短距，若存在，请求出；
（2）对于任意x∈[1，2]是否存在实数a，使得函数f（x）=

2x|x-a|

的短距不小于2，若存在，请求出a的取值范围；不存在，则说明理由？

Answer 1

考点：进行简单的合情推理

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）可以由基本不等式及长距和短距的定义求出；
（2）将a进行分类讨论通过解不等式求出a的范围即可．

解答： 解：（1）设u（x）=

x2+ 1 x2

≥

2

（当且仅当x=±1取得等号），f₁（x）短距为

2

，长距不存在．
设v（x）=

x2+(-x2-4x+5)

=

5-4x

，x∈[-5，1]，
v（x）_min=v（1）=1v（x）_max=v（-5）=5，
f₂（x）短距为1，长距为5．
（2）设h（x）=

x2+2x|x-a|

，x∈[1，2]，
函数f（x）=

2x|x-a|

的短距不小于2，即x²+2x|x-a|≥4对于x∈[1，2]始终成立：
当a＞2时：a≥

1

2

（x+

4

x

）对于x∈[1，2]始终成立，
∴a≥

5

2

，
当1≤a≤2时：取x=a即可知显然不成立
当a＜1时：a≤

1

2

（3x-

4

x

）对于x∈[1，2]始终成立 
∴a≤-

1

2

综上所述：存在实数a∈（-∞，-

1

2

]∪[

5

2

，+∞），使得函数f（x）=

2x|x-a|

的短距不小于2．

点评：本题新定义了长距和短距，属于新定义问题，用到了基本不等式及函数的最值问题，是一道中档题．