Question

已知关于x的方程x²-（6+i）x+9+ai=0（a∈R）有实数根b，若复数z满足|

.

z

-a-bi|=2|z|，则|z|有最小值为

 

．

Answer 1

考点：复数代数形式的乘除运算

专题：数系的扩充和复数

分析：复数方程有实根，方程化简为a+bi=0（a、b∈R），利用复数相等，求出a，b．把a、b代入方程，同时设复数z=x+yi，化简方程，根据表达式的几何意义，方程表示圆，再数形结合，求出z，得到|z|．

解答： 解：∵b是方程x²-（6+i）x+9+ai=0（a∈R）的实根，
∴（b²-6b+9）+（a-b）i=0，
∴

b2-5b+9=0 a=b

解之得a=b=3．
（2）设z=x+yi（x，y∈R），由|

.

z

-3-3i|=2|z|，
得（x-3）²+（y+3）²=4（x²+y²），
即（x+1）²+（y-1）²=8，
∴z点的轨迹是以O₁（-1，1）为圆心，2

2

为半径的圆，如图所示，
如图，
当z点在OO₁的连线上时，|z|有最大值或最小值，
∵|OO₁|=

2

，
半径r=2

2

，
∴当z=1-i时．
|z|有最小值且|z|_min=

2

．
故答案为：

2

．

点评：本题考查复数相等；考查复数和它的共轭复数，复数的模，复数的几何意义，数形结合的思想方法．
是有一定难度的中档题目．