题目内容
如图：为了保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸）．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直，保护区的边界为圆心M（在线段OA上）与BC相切的圆．建立如图所示的直角坐标系，已知新桥BC所在直线的方程为：4x+3y-680=0．（1）求新桥端点B的坐标；
（2）当圆形保护区的圆心M在古桥OA所在线段上（含端点）运动时，求圆形保护区的面积的最小值，并指出此时圆心M的位置．
考点：圆方程的综合应用
专题：直线与圆
分析：（1）设出B的坐标，利用AB和BC垂直，利用待定系数法即可得到结论．
（2）要求圆面积的最小值，则只需求得圆半径的最小值即可得到结论．
（2）要求圆面积的最小值，则只需求得圆半径的最小值即可得到结论．
解答：
解：（1）设B（a，b），由题意可知A（0，60），直线BC的斜率k=-
，
则满足条件
，即
，
解得
，即B（80，120）．
（2）要使圆形保护区的面积的最小，则只需求得圆半径最小即可，
∵AB⊥BC，
∴当M位于点A（0，60）时，此时圆的半径最小，此时半径r=AB=
=
=100，
圆心M（0，60）．
则圆的面积最小为S=π×1002=10000π．
| 4 |
| 3 |
则满足条件
|
|
解得
|
（2）要使圆形保护区的面积的最小，则只需求得圆半径最小即可，
∵AB⊥BC，
∴当M位于点A（0，60）时，此时圆的半径最小，此时半径r=AB=
| 802+(120-60)2 |
| 802+602 |
圆心M（0，60）．
则圆的面积最小为S=π×1002=10000π．
点评：本题主要考查直线和圆的方程的应用，利用直线和圆的位置关系，以及利用待定系数法是解决本题的关键．
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