Question

已知点M是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一点，F₁，F₂分别为C的左右焦点，|F₁F₂|=2

3

，∠F₁MF₂=60°，△F₁MF₂的面积为

3

3

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过椭圆右焦点F₂的直线l和椭圆交于两点A，B，是否存在直线l，使得△OAF₂与△OBF₂的面积比值为2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：本题（1）利用正弦面积公式、余弦定理得到|MF₁|、|MF₂|的和，从而求出参数a、b、c，得到椭圆的方程；（2）将条件中的面积比转化为向量关系，得到两点纵坐关系，再通过直线和椭圆联列的方程组，得到两点的纵坐标关系，从而求出参数k，得到直线l的方程，说明其存在性．

解答： 解：（1）在△F₁MF₂中，S△F1MF2=

1

2

|MF1||MF2|sin60°=

3

3

，
得到：|MF1||MF2|=

4

3

．
由余弦定理，得|F1F2|2=|MF1|2+|MF2|2-2|MF1||MF2|COS60°．
=(|MF1|+|MF2|)2-2|MF1||MF2|(1+COS60°)，
∴|MF₁|+|MF₂|=4．
∴2a=|MF₁|+|MF₂|=4，即a=2，b²=a²-c²=1．
故椭圆方程为

x2

4

+y2=1．
（2）∵△OAF₂与△OBF₂的面积比值为2，
∴AF₂：BF₂=2，则

AF2

=2

F2B

，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则(

3

-x1，-y1)=2(x2-

3

，y2)，
∴y₁=-2y₂   ①
设直线l的方程为x=ky+

3

．
由

x2 4 +y2=1 y=kx+ 3

，得到(k2+4)y2+2

3

y-1=0，
则y1+y2=-

2 3 k

k2+4

   ②
y1y2=-

1

k2+4

      ③
由①②③得k=±

2 23

23

，
因此存在直线l：x=±

2 23

23

y+

3

使得△OAF₂与△OBF₂的面积比值为2．

点评：本题考查了正弦面积公式、余弦定理、椭圆的定义、韦达定理，以及化归转化的数学思想，有一定的探索性，属于中档题．