Question

13．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=（x+2）e^-x-2（其中e是自然对数的底数，e=2.71828…）．
（Ⅰ） 当x＞0时，求f（x）的解析式；
（Ⅱ） 若x∈[0，2]时，方程f（x）=m有实数根，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 利用函数的奇偶性转化求解函数的解析式即可．
（Ⅱ） 通过当x=0时，当0＜x≤2时，当0＜x＜1时，求出函数的零点，极值，然后求解实数m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ） 当x≤0时，f（x）=（x+2）e^-x-2，
当x＞0时，则-x＜0时，f（-x）=（-x+2）e^x-2，
由于f（x）奇函数，则f（x）=-f（-x）=-[（-x+2）e^x-2]，
故当x＞0时，f（x）=（x-2）e^x+2．（6分）
（Ⅱ） 当x=0时，f（0）=0．
当0＜x≤2时，f（x）=（x-2）e^x+2，f'（x）=（x-1）e^x，由f'（x）=0，得x=1，
当0＜x＜1时，f'（x）＜0，当1＜x＜2时，f'（x）＞0，则f（x）在（0，1）上单调递减；
在（1，2）上单调递增．则f（x）在x=1处取得极小值f（1）=2-e，（10分）
又f（0）=0，f（2）=2，故当0＜x≤2时，f（x）∈[2-e，2]．
综上，当x∈[0，2]时，f（x）∈[2-e，2]，
所以实数m的取值范围是[2-e，2]．（12分）

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值，考查分类讨论思想的应用，是中档题．