题目内容
【题目】已知函数f（x）=axlnx﹣x+l （a∈R），且f（x）≥0．
（I）求a；
（ II）求证：当，n∈N*时， 
【答案】（1）1（2）见解析
【解析】试题分析：（Ⅰ）通过讨论
的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值，问题转化为
，令
，求出
的最小值，求出
的值即可；（Ⅱ）由
恒成立．令
，根据取值累加即可.
试题解析：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞）．
若a＜0，f（2）=2aln2﹣1＜0，与已知矛盾．…
若a=0，则f（x）=﹣x+1，显然不满足在（0，+∞）上f（x）≥0恒成立．…
若a＞0，对f（x）求导可得f'（x）=alnx+a﹣1．
由f'（x）＞0解得
，由f'（x）＜0解得0＜
，
∴f（x）在（0，
）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，
∴f（x）min=
=1﹣a
． …
∴要使f（x）≥0恒成立，则须使1﹣a≥0成立，即≤
恒成立．
两边取对数得，
≤ln，整理得lna+
﹣1≤0，即须此式成立．
令g（a）=lna+﹣1，则
，
显然当0＜a＜1时，g'（a）＜0，当a＞1时，g'（a）＞0，
于是函数g（a）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）单调递增，
∴g（a）min=g（1）=0，
即当且仅当a=1时，f（x）min=f（1）=0，f（x）≥0恒成立，
∴a=1满足条件．
综上，a=1．…
（Ⅱ）由（Ⅰ）知x＞1时，xlnx﹣x+1＞0，即lnx＞
恒成立．
令
（n∈N*），即
＞
，
即
，…
同理，
，
，…，
，
，…
将上式左右相加得：
=
=ln4．=2ln2…
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