Question

【题目】已知函数，.

(1)讨论函数的单调性；

(2)若函数在上的最大值为1，求实数的取值集合.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）对函数求导得，对分类讨论，结合导数的性质，即可得到函数的单调性；（2）函数在上的最大值为1等价于对任意，恒成立，即对任意恒成立，变形可得，分别对，及讨论，即可求得实数的取值集合.

试题解析：（1）.

当时，在上单调递减；

当时，，即在上单调递减；

当时，.

∴时，，在上递减；

时，，在上递增；

时，，在上递减；

综上，当时，在上单调递减；

当时，在上递减；

在上递增；上递减.

（2）∵函数在上的最大值为1

∴对任意，恒成立，即对任意恒成立，变形可得.

当时，即，可得；

当时，.则

令，则.

当时，，当时，.

因此，，

∴.

当时，.则

令，则.

当时，，

因此，，

∴.

综上，.

∴的取值集合为.