Question

【题目】四棱台被过点的平面截去一部分后得到如图所示的几何体，其下底面四边形是边长为2的菱形，，平面，.

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）若与底面所成角的正切值为2，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（I）详见解析；（II）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）易证，，进而可得平面，从而证得；

（Ⅱ）与底面所成角为，从而可得，设,交于点，以为坐标原点建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用法向量求解二面角即可.

试题解析：

（Ⅰ）∵平面，∴.

在菱形中，，

又，∴平面，

∵平面，∴平面平面.

（Ⅱ）∵平面

∴与底面所成角为，∴，∴

设,交于点，以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系.

则，，,.

，

同理，

，，

.

设平面的法向量，

∴则，

设平面的法向量，

则，

设二面角为，.