Question

3．若正实数a，b满足$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=$\sqrt{ab}$，则ab的最小值为2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由题意可得$\sqrt{ab}$=$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$≥2$\sqrt{\frac{1}{a}•\frac{2}{b}}$=2$\sqrt{\frac{2}{ab}}$，由不等式的性质变形可得．

解答 解：∵正实数a，b满足$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=\sqrt{ab}$，
∴$\sqrt{ab}$=$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$≥2$\sqrt{\frac{1}{a}•\frac{2}{b}}$=2$\sqrt{\frac{2}{ab}}$，
∴ab≥2$\sqrt{2}$
当且仅当$\frac{1}{a}$=$\frac{2}{b}$即a=$\root{4}{2}$且b=2$\root{4}{2}$时取等号．
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查基本不等式求最值，涉及不等式的性质，属基础题．