Question

4．设f（x）=$\frac{a}{x}$+xlnx，g（x）=x³-x²-3．
（1）当a=1时，求f（x）在点（1，1）处的切线方程．
（2）如果对任意的$s，t∈[\frac{1}{2}，2]$，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到f′（1）的值，代入切线方程即可；
（2）求出g（x）的导数，得到g（x）的单调区间，从而求出g（x）的最大值，问题等价于a≥x-x²lnx恒成立，记h（x）=x-x²lnx，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（1）当a=1时，$f（x）=\frac{1}{x}+xlnx$…（1分），
$f'（x）=lnx+1-\frac{1}{x^2}，x∈（0，+∞）$…（2分）
函数f（x）在（1，1）处的切线的斜率，
∴k_切=f'（1）=0，又切点为（1，1）…（3分）
所以f（x）在（1，1）处的切线方程为y=1…（4分）
（2）对于函数g（x）=x³-x²-3，g′（x）=3x（x-$\frac{2}{3}$），x∈[$\frac{1}{2}$，2]，
令g′（x）=0，得x=0或x=$\frac{2}{3}$   …（5分）
当x变化时，g′（x），g（x）变化情况如下表：

x	$\frac{1}{2}$	（$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$）	$\frac{2}{3}$	（$\frac{2}{3}$，2）	2
g′（x）		-	0	+
g（x）	-3	递减	极（最）小值-$\frac{85}{27}$	递增	1

由上表可知：g（x）_min=g（$\frac{2}{3}$）=-$\frac{85}{27}$，g（x）_max=g（2）=1，…（6分）
所以在区间[$\frac{1}{2}$，2]上，g（x）的最大值为g（2）=1．
因此，原问题等价于当x∈[$\frac{1}{2}$，2]时，f（x）≥1恒成立
等价于a≥x-x²lnx恒成立，…（7分）
记h（x）=x-x²lnx，h′（x）=1-2xlnx-x，h′（1）=0…（8分）
记m（x）=1-2xlnx-x，m′（x）=-3-2lnx，由于x∈[$\frac{1}{2}$，2]，
m′（x）=-3-2lnx＜0，所以m（x）=h′（x）=1-2xlnx-x在[$\frac{1}{2}$，2]上递减，
当x∈[$\frac{1}{2}$，1）时，h′（x）＞0，x∈（，1，2]时，h′（x）＜0，
即函数h（x）=x-x²lnx在区间[$\frac{1}{2}$，1）上递增，在区间（1，2]上递减，
所以h（x）_max=h（1）=1，…（9分）
所以a≥1．（10分）

点评 本题考查了曲线的切线方程问题，考查导数的应用、函数的单调性以及函数恒成立问题，是一道中档题．