题目内容
20．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且点（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）在该椭圆上．（1）求椭圆的方程；
（2）不垂直坐标轴的直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为直径的圆过原点，且线段AB的垂直平分线交y轴于点P（0，-$\frac{3}{2}$），求直线l的方程．
分析 （1）由椭圆所过点A可求得b值，由离心率及a2=b2+c2可求得a值，从而得椭圆方程；
（2）设直线方程y=kx+t及A、B点的坐标，将直线方程代入椭圆方程，化简整理关于x的一元二次方程，利用韦达定理分别求得x1+x2和x1•x3的值，写出y1+y2和y1•y2的表达式，由题意AB为直径的圆过原点，可知$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，根据向量数量积的坐标化简整理5t2=4+4k2，△＞0，解得t＜-$\frac{\sqrt{3}}{2}$或t＞$\frac{\sqrt{3}}{2}$，设出中点坐标，由中点坐标公式及直线PD与直线l垂直，求得t的值，即可求得k的值，写出直线方程．
解答 解：（1）由题意得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{3}{4{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，a2=b2+c2，解得：a=2，b=1，
所以椭圆C的方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$． …（4分）
（2）设直线l的方程为y=kx+t，设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+t}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$消去y得：（1+4k2）x2+8ktx+4t2-4=0，
则由△＞0⇒4k2+1＞t2，
x1+x2=$\frac{-8kt}{1+4{k}^{2}}$，x1•x2=$\frac{4{t}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，…（6分）
y1+y2=kx1+t+kx2+t=k（x1+x2）+2t=$\frac{2t}{1+4{k}^{2}}$，
y1•y2=（kx1+t）×（kx2+t）=k2x1x2+kt（x1+x2）+t2，
=k2×$\frac{4{t}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$+kt（$\frac{-8kt}{1+4{k}^{2}}$）+t2，
=$\frac{{t}^{2}-4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，
∵以AB为直径的圆过坐标原点，所以$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$⇒x1x2+y1y2=0，
∴x1x2+y1y2=$\frac{4{t}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$+$\frac{{t}^{2}-4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$=0，
∴5t2=4+4k2，…（8分）
△＞0⇒4k2+1＞t2，t＜-$\frac{\sqrt{3}}{2}$或t＞$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又设AB的中点为D（m，n），则有：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=-\frac{4kt}{1+4{k}^{2}}}\\{n=\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}=\frac{t}{1+4{k}^{2}}}\end{array}\right.$，
∵直线PD与直线l垂直，所以${k}_{PD}=-\frac{1}{k}$=$\frac{-\frac{3}{2}-n}{-m}$⇒$\frac{t}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，…（10分）
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{t}{1+4{k}^{2}}=\frac{1}{2}}\\{5{t}^{2}=4+4{k}^{2}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{{t}_{1}=1}\\{{t}_{2}=-\frac{3}{5}}\end{array}\right.$，
当t=-$\frac{3}{5}$时，△＜0舍去
当t=1时，k=±$\frac{1}{2}$，
∴所求直线方程为y=$\frac{1}{2}$x+1或y=-$\frac{1}{2}$x+1．…（12分）
点评 本题考查直线方程、椭圆方程及直线与椭圆位置关系，考查向量的数量积运算，考查分类讨论思想，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，综合性强，属于难题．
如图，点F1，F2分别是椭圆C1：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点A是下顶点，抛物线C2：y=x2-1与x轴交于点F1，F2，与y轴交于点B，且点B是线段OA的中点，点N为抛物线上C2的一动点，过点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于P，Q两点．
已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，过右焦点F且垂直于x轴的直线与椭圆C相交于M，N两点，且|MN|=3．| A． | [kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]（k∈Z） | B． | [kπ-$\frac{7π}{12}$，kπ-$\frac{π}{12}$]（k∈Z） | ||
| C． | [$\frac{2kπ}{3}$-$\frac{π}{18}$，$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{5π}{18}$]（k∈Z） | D． | [$\frac{2kπ}{3}$-$\frac{7π}{18}$，$\frac{2kπ}{3}$-$\frac{π}{18}$]（k∈Z） |
| A． | 相交 | B． | 相切 | C． | 相离 | D． | 不确定 |
某海滨游乐场出租快艇的收费办法如下：不超过十分钟收费80元；超过十分钟，超过部分按每分钟10元收费（对于其中不足一分钟的部分，若小于0.5分钟则不收费，若大于或等于0.5分钟则按一分钟收费），小茗同学为该游乐场设计了一款收费软件，程序框图如图所示，其中x（分钟）为航行时间，y（元）为所收费用，用[x]表示不大于x的最大整数，则图中①处应填（ ）| A． | y=10[x] | B． | y=10[x]-20 | C． | y=10[x-$\frac{1}{2}$]-20 | D． | y=10[x+$\frac{1}{2}$]-20 |