Question

16．数列{a_n}中，2S_n=n²+n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=2^a_n•a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用递推关系即可得出．
（II）b_n=2^a_n•a_n=n•2ⁿ．“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．

解答 解：（I）∵2S_n=n²+n，∴n=1时，2a₁=1+1，解得a₁=1．n≥2时，2a_n=2（S_n-S_n-1）=n²+n-[（n-1）²+（n-1）]，化为：a_n=n．n=1时也成立，
∴a_n=n．
（II）b_n=2^a_n•a_n=n•2ⁿ．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
∴2S_n=2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-S_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．