题目内容
14．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=m+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{1+2si{n}^{2}θ}}$，且曲线C的左焦点F在直线l上．（1）求实数m和曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，求$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$．
分析 （1）将曲线C的极坐标方程两边平方，去分母，根据极坐标与直角坐标的对应关系求出C的直角坐标方程，得出左焦点，代入直线方程求出m；
（2）将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，利用参数的几何意义求出|AF|，|BF|．
解答 解：（1）直线l的普非常为x-m=y，即x-y-m=0，
∵曲线C的极坐标方程为ρ=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{1+2si{n}^{2}θ}}$，即ρ2+2ρ2sin2θ=12，
∴曲线C的直角坐标方程为x2+3y2=12，即$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
∴曲线C的左焦点F为（-2$\sqrt{2}$，0）．
∵F在直线l上，∴-2$\sqrt{2}$-m=0，∴m=-2$\sqrt{2}$．
（2）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-2\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
代入曲线C的方程x2+3y2=12得：t2-2t-2=0．
∴t1=1+$\sqrt{3}$，t2=1-$\sqrt{3}$．
∴$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$=$\frac{1}{{|t}_{1}|}+\frac{1}{|{t}_{2}|}$=$\frac{1}{1+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}-1}$=$\sqrt{3}$．
点评 本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，直线参数方程的几何意义与应用，属于中档题．
练习册系列答案
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| A． | 1+$\sqrt{3}$ | B． | 1+$\sqrt{2}$ | C． | $\sqrt{3}$ | D． | $\sqrt{2}$ |
2．已知a，b为空间两条不重合的直线，α，β为空间两个不重合的平面，则以下结论正确的是（ ）
| A． | 若α⊥β，a?α，则a⊥β | B． | 若α⊥β，a⊥β，则a∥α | C． | 若a?α，a∥β，则α∥β | D． | 若a?α，a⊥β，则α⊥β |
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| A． | [$\frac{3}{4}$，$\frac{4}{3}$] | B． | [$\frac{3}{4}$，$\frac{4}{3}$） | C． | （$\frac{3}{4}$，$\frac{4}{3}$） | D． | （$\frac{3}{4}$，$\frac{4}{3}$] |